Btukfyl

Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo, o que compromete a verificabilidade (desde junho de 2017). Por favor, insira mais referências no texto. Material sem fontes poderá ser removido. —Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, o Universo construtível (ou Universo construtível de Gödel ou Hierarquia construtível), denotado por L, é uma classe de conjuntos definida por recursão transfinita. na qual, a diferença do Universo de von Neumann, o sucessor de uma classe não toma todos os subconjuntos, mas somente aquelas que são definíveis, num sentido específico desse termo.^[1] Podemos definir também, no âmbito filosofico, L como sendo o universo praticável fisicamente, não apenas de maneira abstrata. Por exemplo, um carro voador é algo que existe em potencia, porém não se encontra no Universo construtível.

Definição de L |

L é definido numa hierarquia de níveis que são função dos ordinais, de maneira análoga ao Universo de von Neumann. A única diferença é que no passo sucessor, em lugar de tomar todos os subconjuntos, toma somente os "definíveis". Mas especificamente, dado um conjunto x e um subconjunto y de x, y⊆x, diz-se que y é x-definível, denotado por Def(x), se e somente se existe uma fórmula de primeira ordem φ satisfeita por todos e somente por os elementos de y em x (considerado como universo da interpretação).^[2] Dessa maneira, Def(x) ⊆ P(x).

• O primeiro nível é o conjunto vazio:

L0:=∅{displaystyle L_{0}:=emptyset }.

• Para α{displaystyle alpha } um número ordinal:

Lα+1:=Def(Lα){displaystyle L_{alpha +1}:=De!f(L_{alpha })}

• Para β{displaystyle beta } um limite ordinal:

Lβ:=⋃α<βLα{displaystyle L_{beta }:=bigcup _{alpha <beta }L_{alpha }}.

• Finalmente, sendo L a união de todos os L_α:

L:=⋃α∈OnLα{displaystyle mathbf {mathsf {L}} :=bigcup _{alpha in mathbf {O} n}L_{alpha }}.

O uso do símbolo de união na última linha constitui, como na definição de
V{displaystyle mathbf {mathsf {V}} },
um abuso da linguagem, de modo que
x∈L{displaystyle xin mathbf {mathsf {L}} }
deve ser interpretado como "existe um ordinal
α{displaystyle alpha }
tal que
x∈Lα{displaystyle xin L_{alpha }}".

O Axioma de construtibilidade |

Ver artigo principal: Axioma de construtibilidade

O enunciado "todo conjunto é construível", abreviado
V=L{displaystyle mathbf {mathsf {V}} =mathbf {mathsf {L}} }
é verdadeiro no Universo Construível.
Esse axioma, somado aos habituas de Zermelo-Fraenkel, implica o Axioma da escolha,
hipótese do continuo generalizada,
a negação da hipótese de Suslin e a existência de um conjunto de números reais
Δ21{displaystyle Delta _{2}^{1}} não mensurável.

Referências

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine