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Os Axiomas de Kripke-Platek da Teoria dos Conjuntos (KP), pronunciado /ˈkrɪpki ˈplɑːtɛk/, é um sistema da teoria axiomática dos conjuntos, baseado nas ideias de Saul Kripke (1964) e Richard Platek (1966).

KP é mais fraco que a teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZFC). Diferentemente de ZFC, KP não inclui o axioma da potência (ou axioma do conjunto das partes), e KP inclui somente formas limitadas do axioma da separação e do axioma da substituição de ZFC. Essas restrições nos axiomas de KP levam a conexões íntimas entre KP, teoria da recursão generalizada, e a teoria dos ordinais admissíveis.

Os axiomas de KP |

• 
  Axioma da extensão: Dois conjuntos são o mesmo se e somente se eles têm os mesmos elementos.


• Axioma da indução: Seja φ(a) uma fórmula, se para todos os conjuntos x - a suposição de que φ(y) vale para todos os elementos y de x - acarreta que φ(x) vale, então φ(x) vale para todos os conjuntos x.


• 
  Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto sem nenhum membro, chamado de conjunto vazio e denotado por {}. (Nota: a existência de um membro no universo do discurso, i. e., ∃x(x=x), é implícita em algumas formulações^[1] da lógica de primeira ordem, em cada caso o axioma do conjunto vazio segue do axioma da separação, e vice-versa.)


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  Axioma do par: Se x, y são conjuntos, então também o é {x, y}, um conjunto contendo x e y como seus únicos elementos.


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  Axioma da união: Para qualquer conjunto x, há um conjunto y tal que os elementos de y são precisamente os elementos dos elementos de x.


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  Axioma da Σ₀-separação: Dado qualquer conjunto e qualquer fórmula Σ₀ φ(x), existe um subconjunto do conjunto original contendo precisamente os elementos x para os quais φ(x) vale. (Este é um esquema de axioma.)


• Axioma da Σ₀-coleção: Dada qualquer fórmula Σ₀ φ(x, y), se para todo conjunto x existe um conjunto y tal que φ(x, y) vale, então para todos os conjuntos u existe um conjunto v tal que para todo x em u há um y em v tal que φ(x, y) vale.

Uma fórmula Σ₀, ou Π₀, ou Δ₀ é uma fórmula em que todos os quantificadores são limitados. Isto significa que qualquer quantificação é da forma ∀u∈v{displaystyle forall uin v} ou ∃u∈v.{displaystyle exists uin v.} (Geralmente, é dito que uma fórmula é Σ_n+1 quando ela é obtida pela adição de quantificadores universais na frente de uma fórmula Π_n, e que é Π_n+1 quando é obtida pela adição de quantificadores universais na frente de uma fórmula Σ_n: isto está relacionado à hierarquia aritmética mas no contexto da teoria dos conjuntos.)

Esses axiomas diferenciam de ZFC tanto que eles excluem os axiomas de: infinidade, conjunto-potência, e escolha. Também os axiomas de separação e coleção aqui são mais fracos que os axiomas correspondentes em ZFC poque as fórmulas φ usadas nesses são limitadas somente a quantificadores delimitados.

O axioma da indução em KP é mais forte que o axioma da regularidade usual (o qual aplica a indução ao complemento de um conjunto (a classe de todos os conjuntos que não estão no conjunto dado)).

Prova de que produtos Cartesianos existem |

Teorema: Se A e B são conjuntos, então existe um conjunto A×B que consiste de todos os pares ordenados (a, b) de elementos a de A e b de B.

Prova: {a} = {a, a} existe pelo axioma do par. {a, b} existe pelo axioma do par. Então (a, b) = { {a}, {a, b} } existe pelo axioma do par.

Se p é suposto representar (a, b), então uma fórmula Δ₀ que expressa isso é:
∃r∈p(a∈r∧∀x∈r(x=a))∧∃s∈p(a∈s∧b∈s∧∀x∈s(x=a∨x=b)){displaystyle exists rin p(ain rland forall xin r(x=a))land exists sin p(ain sland bin sland forall xin s(x=alor x=b))} and ∀t∈p((a∈t∧∀x∈t(x=a))∨(a∈t∧b∈t∧∀x∈t(x=a∨x=b))).{displaystyle forall tin p((ain tland forall xin t(x=a))lor (ain tland bin tland forall xin t(x=alor x=b))).}

Além disso um superconjunto de A×{b} = {(a, b) | a em A} existe pelo axioma da coleção.

Abrevie a fórmula acima por ψ(a,b,p).{displaystyle psi (a,b,p)!.} Então ∃a∈Aψ(a,b,p){displaystyle exists ain Apsi (a,b,p)} é Δ₀. Além disso A×{b} existe pelo axioma da separação.

Se v é suposto representar A×{b}, então uma fórmula Δ₀ que expressa isso é:
∀a∈A∃p∈vψ(a,b,p)∧∀p∈v∃a∈Aψ(a,b,p).{displaystyle forall ain Aexists pin vpsi (a,b,p)land forall pin vexists ain Apsi (a,b,p).}

Além disso um superconjunto de {A×{b} | b in B} existe pelo axioma da coleção.

Colocando ∃b∈B{displaystyle exists bin B} na frente desta última fórmula nós obtemos do axioma da separação que o conjunto {A×{b} | b in B} existe.

Finalmente, A×B = ∪{displaystyle cup }{A×{b} | b em B} existe pelo axioma da união. CQD.

Conjuntos Admissíveis |

Um conjunto A{displaystyle A,} é chamado admissível se ele é transitivo e ⟨A,∈⟩{displaystyle langle A,in rangle } é um modelo da teoria dos conjuntos de Kripke-Platek.

Um número ordinal α é chamado um ordinal admissível se L_α é um conjunto admissível.

O ordinal α é um ordinal admissível se e somente se α é um ordinal limite e não existe um γ<α para o qual há um Σ₁(L_α) mapeando de γ para α. Se M é um modelo canônico de KP, então o conjunto de ordinais em M é um ordinal admissível.

Se L_α é um modelo padrão da teoria dos conjuntos de KP sem o axioma da Σ₀-coleção então ele é dito ser um "conjunto manuseável".

Notas |

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• Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Kripke–Platek set theory».

Bibliografia |

• 
  Gostanian, Richard (1980). «Constructible Models of Subsystems of ZF». Association for Symbolic Logic. Journal of Symbolic Logic. 45 (2). 237 páginas. JSTOR 2273185. doi:10.2307/2273185 
  


• 
  Kripke, S. (1964), «Transfinite recursion on admissible ordinals», J. Symbolic logic, 29: 161–162 
  


• 
  Platek, Richard Alan (1966), Foundations of recursion theory, Thesis (Ph.D.)–Stanford University, MR 2615453