Movimento browniano geométrico
Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica.[1] É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.
Índice
1 Definição formal
2 Solução da EDE
3 Propriedades
4 Versão multivariada
5 Uso em finanças
6 Extensões
7 Veja também
8 Referências
9 Ligações externas
Definição formal |
Um processo estocástico St é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):
- dSt=μStdt+σStdWt{displaystyle dS_{t}=mu S_{t},dt+sigma S_{t},dW_{t}}
onde Wt{displaystyle W_{t}} é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e μ{displaystyle mu } ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e σ{displaystyle sigma } ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.
O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.
Solução da EDE |
Para um valor arbitrário inicial S0 a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):
St=S0exp((μ−σ22)t+σWt){displaystyle S_{t}=S_{0}exp left(left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}right)}.
Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por St{displaystyle S_{t}} a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:
∫0tdStSt=μt+σWt,assumindo que W0=0{displaystyle int _{0}^{t}{frac {dS_{t}}{S_{t}}}=mu ,t+sigma ,W_{t},,qquad {text{assumindo que }}W_{0}=0,}.
Claro, dStSt{displaystyle {frac {dS_{t}}{S_{t}}}} aparenta ser relacionado à derivada de lnSt{displaystyle ln S_{t}}. No entanto, St{displaystyle S_{t}} é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:
- d(lnSt)=dStSt−121St2dStdSt{displaystyle d(ln S_{t})={frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{frac {1}{2}},{frac {1}{S_{t}^{2}}},dS_{t}dS_{t}}
onde dStdSt{displaystyle dS_{t}dS_{t}} é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como d[S]t{displaystyle d[S]_{t}} ou ⟨S.⟩t{displaystyle leftlangle S_{.}rightrangle _{t},}. Neste caso, temos:
dStdSt=σ2St2dt{displaystyle dS_{t}dS_{t},=,sigma ^{2},S_{t}^{2},dt}.
Substituindo o valor de dSt{displaystyle dS_{t}} na equação acima e simplificando obtemosː
lnStS0=(μ−σ22)t+σWt{displaystyle ln {frac {S_{t}}{S_{0}}}=left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}},right)t+sigma W_{t},}.
Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por S0{displaystyle S_{0}} dá a solução reivindicada acima.
Propriedades |
A solução acima St{displaystyle S_{t}} (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː[2]
E(St)=S0eμt{displaystyle mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{mu t}},
Var(St)=S02e2μt(eσ2t−1){displaystyle operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2mu t}left(e^{sigma ^{2}t}-1right)},
isto é a função de densidade de probabilidade de uma St é:
fSt(s;μ,σ,t)=12π1sσtexp(−(lns−lnS0−(μ−12σ2)t)22σ2t){displaystyle f_{S_{t}}(s;mu ,sigma ,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}},{frac {1}{ssigma {sqrt {t}}}},exp left(-{frac {left(ln s-ln S_{0}-left(mu -{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tright)^{2}}{2sigma ^{2}t}}right)}.
Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(St). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː
- dlog(S)=f′(S)dS+12f′′(S)S2σ2dt=1S(σSdWt+μSdt)−12σ2dt=σdWt+(μ−σ2/2)dt.{displaystyle {begin{alignedat}{2}dlog(S)&=f^{prime }(S),dS+{frac {1}{2}}f^{prime prime }(S)S^{2}sigma ^{2},dt\&={frac {1}{S}}left(sigma S,dW_{t}+mu S,dtright)-{frac {1}{2}}sigma ^{2},dt\&=sigma ,dW_{t}+(mu -sigma ^{2}/2),dt.end{alignedat}}}
Segue-se que Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t{displaystyle mathbb {E} log(S_{t})=log(S_{0})+(mu -sigma ^{2}/2)t}.
Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:
- log(St)=log(S0exp((μ−σ22)t+σWt))=log(S0)+(μ−σ22)t+σWt.{displaystyle {begin{alignedat}{2}log(S_{t})&=log left(S_{0}exp left(left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}right)right)\&=log(S_{0})+left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}.end{alignedat}}}
Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t{displaystyle mathbb {E} log(S_{t})=log(S_{0})+(mu -sigma ^{2}/2)t}.
Versão multivariada |
O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.
Cada trajetória de preço segue o processo subjacente
dSti=μiStidt+σiStidWti{displaystyle dS_{t}^{i}=mu _{i}S_{t}^{i},dt+sigma _{i}S_{t}^{i},dW_{t}^{i}},
Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que E(dWtidWtj)=ρi,jdt{displaystyle mathbb {E} (dW_{t}^{i}dW_{t}^{j})=rho _{i,j}dt} onde ρi,i=1{displaystyle rho _{i,i}=1}.
Para o caso multivariado, isso implica que
Cov(Sti,Stj)=S0iS0je(μi+μj)t(eρi,jσiσjt−1){displaystyle mathrm {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(mu _{i}+mu _{j})t}left(e^{rho _{i,j}sigma _{i}sigma _{j}t}-1right)}.
Uso em finanças |
Ver artigo principal: Black-Scholes
O movimento geométrico browniano é usado para modelar os preços das ações no modelo Black-Scholes e é o modelo mais utilizado no comportamento do preço das ações.[3]
Alguns dos argumentos para usar o MBG para modelar os preços das ações são:
- Os retornos esperados do MBG são independentes do valor do processo (preço das ações), o que está de acordo com o que seria esperado na realidade.[3]
- O MBG só assume valores positivos, assim como os preços das ações reais.
- O MBG mostra o mesmo tipo de "rugosidade" em seus caminhos como vemos nos preços das ações reais.
- Cálculos com MBG são relativamente fáceis.
No entanto, MBG não é um modelo completamente realista, em particular, fica aquém da realidade nos seguintes pontos:
- Nos preços das ações reais, a volatilidade muda ao longo do tempo (possivelmente estocasticamente), mas no MBG, a volatilidade é assumida constante.
- Na vida real, os preços das ações geralmente mostram saltos causados por eventos ou notícias imprevisíveis, mas no MBG, o caminho é contínuo (sem descontinuidade).
Extensões |
Em uma tentativa de fazer o MBG mais realista, como um modelo para os preços das ações, pode-se descartar a suposição de que a volatilidade (σ{displaystyle sigma }) é constante. Se partirmos do princípio de que a volatilidade é uma função determinística do preço das ações e do tempo, isso é chamado de modelo de volatilidade local. Se, em vez disso, assumimos que a volatilidade tem uma aleatoriedade própria — muitas vezes descrita por uma equação diferente, impulsionado por um Movimento Browniano diferente — o modelo é chamado de modelo de volatilidade estocástica.
Veja também |
- Processo estocástico
Referências |
↑ Ross, Sheldon M. (2014). «Variations on Brownian Motion». Introduction to Probability Models 11th ed. Amsterdam: Elsevier. pp. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9
↑ Oksendal, Bernt K. (2002), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, ISBN 3-540-63720-6, Springer
↑ ab Hull, John (2009). «12.3». Options, Futures, and other Derivatives 7 ed. [S.l.: s.n.]
Ligações externas |
- Modelos de Movimento Browniano Geométrico para movimento do estoque, exceto em eventos raros .
- R e C# Simulação de um Movimento Browniano Geométrico
- Excel Simulação de um Movimento Browniano Geométrico para simular os Preços das Ações
«Aplicação Web interativo: Processos estocásticos utilizados em Quantitative Finance»