Btukfyl

Em matemática, o lema de Itō é uma identidade usada em cálculo de Itō para encontrar a diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico. É o análogo em cálculo estocástico da regra da cadeia do cálculo comum. Pode ser heuristicamente derivado ao formar a expansão da série de Taylor de uma função, separando suas derivadas de segunda ordem e retendo termos até a primeira ordem no incremento do tempo e a segunda ordem no incremento de processo de Wiener. O lema é amplamente empregado em matemática financeira e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opção.

O lema de Itō, que recebe este nome em homenagem a Kiyoshi Itō, é ocasionalmente referido como o teorema de Itō-Doeblin em reconhecimento ao trabalho postumamente descoberto de Wolfgang Doeblin.^[1]

Enquanto o lema de Itō foi provado por Kiyoshi Itō, o teorema de Itō, um resultado em teoria dos grupos, recebe este nome devido a Noboru Itō.^[2]

Derivação informal |

Uma prova formal do lema se baseia em tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias.^[3] Esta abordagem não é apresentada aqui, já que envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disto, segue abaixo um esboço de como se pode derivar o lema de Itō ao expandir uma série de Taylor e aplicar as regras do cálculo estocástico.

Considere X_t um processo de tendência-difusão de Itō que satisfaz à equação diferencial estocástica

dXt=μtdt+σtdBt,{displaystyle dX_{t}=mu _{t},dt+sigma _{t},dB_{t},}

em que B_t é um processo de Wiener. Se f(t,x) for uma função escalar duplamente diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é

df=∂f∂tdt+∂f∂xdx+12∂2f∂x2dx2+⋯.{displaystyle df={frac {partial f}{partial t}},dt+{frac {partial f}{partial x}},dx+{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}},dx^{2}+cdots .}

Substituindo X_t por x e μ_t dt + σ_t dB_t por dx temos

df=∂f∂tdt+∂f∂x(μtdt+σtdBt)+12∂2f∂x2(μt2dt2+2μtσtdtdBt+σt2dBt2)+⋯.{displaystyle df={frac {partial f}{partial t}},dt+{frac {partial f}{partial x}}(mu _{t},dt+sigma _{t},dB_{t})+{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}left(mu _{t}^{2},dt^{2}+2mu _{t}sigma _{t},dt,dB_{t}+sigma _{t}^{2},dB_{t}^{2}right)+cdots .}

No limite dt → 0, os termos dt² e dt dB_t tendem a zero mais rapidamente que dB², que é O(dt). Configurando os termos dt² e dt dB_t a zero, substituindo dt por dB² e coletando os termos dt e dB, obtemos

df=(∂f∂t+μt∂f∂x+σt22∂2f∂x2)dt+σt∂f∂xdBt{displaystyle df=left({frac {partial f}{partial t}}+mu _{t}{frac {partial f}{partial x}}+{frac {sigma _{t}^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}right)dt+sigma _{t}{frac {partial f}{partial x}},dB_{t}}

como exigido.

Formulação matemática do lema de Itō |

Nas subseções seguintes, são discutidas versões de lema de Itō para diferentes tipos de processos estocásticos.^[4]

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō |

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que, para um processo de tendência-difusão de Itō^[5]

dXt=μtdt+σtdBt{displaystyle dX_{t}=mu _{t},dt+sigma _{t},dB_{t}}

em que dBt{displaystyle dB_{t}} é a diferencial do movimento Browniano. Para qualquer função escalar duplamente diferenciável f(t,x) de duas variáveis reais t e x, tem-se

df(t,Xt)=(∂f∂t+μt∂f∂x+σt22∂2f∂x2)dt+σt∂f∂xdBt.{displaystyle df(t,X_{t})=left({frac {partial f}{partial t}}+mu _{t}{frac {partial f}{partial x}}+{frac {sigma _{t}^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}right)dt+sigma _{t}{frac {partial f}{partial x}},dB_{t}.}

Isto imediatamente implica que f(t,X_t) é um processo de tendência-difusão de Itō.

Em dimensões mais elevadas, se Xt=(Xt1,Xt2,…,Xtn)T{displaystyle mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},ldots ,X_{t}^{n})^{T}} é um vetor de processo de Itō,^[6] tal que

dXt=μtdt+GtdBt{displaystyle dmathbf {X} _{t}={boldsymbol {mu }}_{t},dt+mathbf {G} _{t},dmathbf {B} _{t}}

para um vetor μt{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{t}} e uma matriz Gt{displaystyle mathbf {G} _{t}}, o lema de Itō afirma então que

df(t,Xt)=∂f∂tdt+(∇Xf)TdXt+12(dXt)T(HXf)dXt,={∂f∂t+(∇Xf)Tμt+12Tr[GtT(HXf)Gt]}dt+(∇Xf)TGtdBt{displaystyle {begin{aligned}df(t,mathbf {X} _{t})&={frac {partial f}{partial t}},dt+left(nabla _{mathbf {X} }fright)^{T},dmathbf {X} _{t}+{frac {1}{2}}left(dmathbf {X} _{t}right)^{T}left(H_{mathbf {X} }fright),dmathbf {X} _{t},\&=left{{frac {partial f}{partial t}}+left(nabla _{mathbf {X} }fright)^{T}{boldsymbol {mu }}_{t}+{frac {1}{2}}{text{Tr}}left[mathbf {G} _{t}^{T}left(H_{mathbf {X} }fright)mathbf {G} _{t}right]right}dt+left(nabla _{mathbf {X} }fright)^{T}mathbf {G} _{t},dmathbf {B} _{t}end{aligned}}}

em que ∇_Xf é o gradiente de f em relação a X, H_Xf é a matriz hessiana de f em relação a X, e Tr é o operador traço.

Processo de salto de Poisson |

Também é possível definir funções relativas a processos estocásticos descontínuos.^[7]

Considere h a densidade do salto. O modelo de processo de Poisson para saltos diz que a probabilidade de um salto no intervalo [t, t + Δt] é hΔt mais termos de ordem mais elevada. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência p_s(t) é a probabilidade de que nenhum salto ocorra no intervalo [0, t]. A mudança na probabilidade de sobrevivência é

dps(t)=−ps(t)h(t)dt.{displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t),dt.}

Então

ps(t)=exp⁡(−∫0th(u)du).{displaystyle p_{s}(t)=exp left(-int _{0}^{t}h(u),duright).}

Considere S(t) um processo estocástico descontínuo. S(t−){displaystyle S(t^{-})} é o valor de S{displaystyle S} conforme se aproxima t{displaystyle t} a partir da esquerda. djS(t){displaystyle d_{j}S(t)} é a mudança não infinitesimal em S(t) como um resultado de um salto. Então

djS(t)=limΔt→0(S(t+Δt)−S(t−)){displaystyle d_{j}S(t)=lim _{Delta tto 0}(S(t+Delta t)-S(t^{-}))}

Considere z{displaystyle z} a magnitude do salto e η(S(t−),z){displaystyle eta (S(t^{-}),z)} a distribuição de probabilidade de z{displaystyle z}. A magnitude esperada do salto é

E[djS(t)]=h(S(t−))dt∫zzη(S(t−),z)dz.{displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-})),dtint _{z}zeta (S(t^{-}),z),dz.}

Defina dJS(t){displaystyle dJ_{S}(t)}, um processo compensado e martingale, como

dJS(t)=djS(t)−E[djS(t)]=S(t)−S(t−)−(h(S(t−))∫zzη(S(t−),z)dz)dt.{displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-left(h(S(t^{-}))int _{z}zeta left(S(t^{-}),zright),dzright),dt.}

Então

djS(t)=E[djS(t)]+dJS(t)=h(S(t−))(∫zzη(S(t−),z)dz)dt+dJS(t).{displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))left(int _{z}zeta (S(t^{-}),z),dzright)dt+dJ_{S}(t).}

Considere uma função g(S(t),t){displaystyle g(S(t),t)} do processo de salto dS(t). Se S(t) salta Δs, então g(t) salta Δg. Δg é tirado da distribuição ηg(){displaystyle eta _{g}()} que pode depender de g(t−){displaystyle g(t^{-})}, dg e S(t−){displaystyle S(t^{-})}. A parte de salto de g{displaystyle g} é

g(t)−g(t−)=h(t)dt∫ΔgΔgηg(⋅)dΔg+dJg(t).{displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t),dtint _{Delta g},Delta geta _{g}(cdot ),dDelta g+dJ_{g}(t).}

Se S{displaystyle S} contém tendência, difusão e salto, então o lema de Itō para g(S(t),t){displaystyle g(S(t),t)} é

dg(t)=(∂g∂t+μ∂g∂S+σ22∂2g∂S2+h(t)∫Δg(Δgηg(⋅)dΔg))dt+∂g∂SσdW(t)+dJg(t).{displaystyle dg(t)=left({frac {partial g}{partial t}}+mu {frac {partial g}{partial S}}+{frac {sigma ^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}g}{partial S^{2}}}+h(t)int _{Delta g}left(Delta geta _{g}(cdot ),d{Delta }gright),right)dt+{frac {partial g}{partial S}}sigma ,dW(t)+dJ_{g}(t).}

O lema de Itō para um processo que é a soma de processo de tendência-difusão e um processo de salto é simplesmente a soma do lema de Itō para as partes individuais.

Semimartingales não contínuos |

O lema de Itō também pode ser aplicado a semimartingales gerais de d{displaystyle d} dimensões, que não precisam ser contínuos.^[8] Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo estejam corretamente dados pelo lema de Itō. Para qualquer processo càdlàg Y_t, o limite à esquerda em t{displaystyle t} é denotado por Y_t−, que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como ΔY_t = Y_t − Y_t−. Então, o lema de Itō afirma que, se X = (X¹, X², ..., X^d) for um semimartingale de d{displaystyle d} dimensões e f{displaystyle f} for uma função de valores reais duplamente e continuamente diferenciável em R^d, então, f(X){displaystyle f(X)} é um semimartingale e

f(Xt)=f(X0)+∑i=1d∫0tfi(Xs−)dXsi+12∑i,j=1d∫0tfi,j(Xs−)d[Xi,Xj]s+∑s≤t(Δf(Xs)−∑i=1dfi(Xs−)ΔXsi−12∑i,j=1dfi,j(Xs−)ΔXsiΔXsj).{displaystyle {begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+sum _{i=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-}),dX_{s}^{i}+{frac {1}{2}}sum _{i,j=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-}),d[X^{i},X^{j}]_{s}\&qquad +sum _{sleq t}left(Delta f(X_{s})-sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-}),Delta X_{s}^{i}-{frac {1}{2}}sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-}),Delta X_{s}^{i},Delta X_{s}^{j}right).end{aligned}}}

Isto difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional somando ao longo dos saltos de X{displaystyle X}, garantindo que o salto do lado direito no tempo t{displaystyle t} seja Δf(Xt){displaystyle Delta f(X_{t})}.

Processos de salto não contínuos múltiplos |

Também há uma versão disto para um função f{displaystyle f} duplamente e continuamente diferenciável no espaço e unicamente diferenciável no tempo avaliado em semimartingales (potencialmente diferentes) não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:

f(t,Xt1,...,Xtd)=f(0,X01,...,X0d)+∫0tf˙(s−,Xs−1,...,Xs−d)ds+∑i=1n∫0tfi(s−,Xs−1,...,Xs−d)dXs(c,i)+12∑i1,..,id=1d∫0tfi1,..,id(s−,Xs−1,...,Xs−d)dXs(c,i1)...Xs(c,id)+∑0<s≤t[f(s,Xs1,...,Xsd)−f(s−,Xs−1,...,Xs−d)]{displaystyle {begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},...,X_{t}^{d})&=f(0,X_{0}^{1},...,X_{0}^{d})+int _{0}^{t}{dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})d{s}\&+sum _{i=1}^{n}int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i)}\&+{frac {1}{2}}sum _{i_{1},..,i_{d}=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i_{1},..,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i_{1})}...X_{s}^{(c,i_{d})}\&+sum _{0<sleq t}left[f(s,X_{s}^{1},...,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})right]end{aligned}}}

Em que Xc,i{displaystyle X^{c,i}} denota a parte contínua do i{displaystyle i}-ésimo semimartingale.

Exemplos |

Movimento browniano geométrico |

Um processo S{displaystyle S} segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante σ{displaystyle sigma } e deriva constante μ{displaystyle mu } se satisfizer à equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt) para um movimento browniano B{displaystyle B}. Aplicando-se o lema de Itō com f(S)=log(S){displaystyle f(S)=log(S)}, temos

dlog⁡(S)=f′(S)dS+12f′′(S)S2σ2dt=1S(σSdB+μSdt)−12σ2dt=σdB+(μ−σ22)dt.{displaystyle {begin{aligned}dlog(S)&=f^{prime }(S),dS+{frac {1}{2}}f^{prime prime }(S)S^{2}sigma ^{2},dt\&={frac {1}{S}}left(sigma S,dB+mu S,dtright)-{frac {1}{2}}sigma ^{2},dt\&=sigma ,dB+left(mu -{tfrac {sigma ^{2}}{2}}right),dt.end{aligned}}}

Segue-se disto

log⁡(St)=log⁡(S0)+σBt+(μ−σ22)t,{displaystyle log(S_{t})=log(S_{0})+sigma B_{t}+left(mu -{tfrac {sigma ^{2}}{2}}right)t,}

e a exponenciação dá para S{displaystyle S} a expressão

St=S0exp⁡(σBt+(μ−σ22)t).{displaystyle S_{t}=S_{0}exp left(sigma B_{t}+left(mu -{tfrac {sigma ^{2}}{2}}right)tright).}

O tempo de correção de − σ²2 corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal ou, equivalentemente a esta distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) mais baixa. Isto se deve à desigualdade das médias e corresponde ao logaritmo sendo convexo para baixo, então o termo de correção pode, portanto, ser interpretado como uma correção de convexidade. Isto é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, sendo diferença proporcional à variância.

O mesmo fator de σ²2 aparece nas variáveis auxiliares d1{displaystyle d_{1}} e d2{displaystyle d_{2}} da fórmula de Black-Scholes e pode ser interpretado como uma consequência do lema de Itō.

Exponencial de Doléans-Dade |

O exponencial de Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo X{displaystyle X} pode ser definido como a solução da equação diferencial estocástica dY = Y dX com condição inicial Y₀ = 1. É às vezes denotado como Ɛ(X). Aplicando-se o lema de Itō com f(Y)=log(Y){displaystyle f(Y)=log(Y)}, temos

dlog⁡(Y)=1YdY−12Y2d[Y]=dX−12d[X].{displaystyle {begin{aligned}dlog(Y)&={frac {1}{Y}},dY-{frac {1}{2Y^{2}}},d[Y]\&=dX-{tfrac {1}{2}},d[X].end{aligned}}}

A exponenciação dá a solução

Yt=exp⁡(Xt−X0−12[X]t).{displaystyle Y_{t}=exp left(X_{t}-X_{0}-{tfrac {1}{2}}[X]_{t}right).}

Fórmula de Black-Scholes |

O lema de Itō pode ser usado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção.^[9] Suponha que o preço de uma ação segue um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Então, se o valor de uma opção no tempo t{displaystyle t} for f(t,St){displaystyle f(t,S_{t})}, o lema de Itō dá

df(t,St)=(∂f∂t+12(Stσ)2∂2f∂S2)dt+∂f∂SdSt.{displaystyle df(t,S_{t})=left({frac {partial f}{partial t}}+{frac {1}{2}}left(S_{t}sigma right)^{2}{frac {partial ^{2}f}{partial S^{2}}}right),dt+{frac {partial f}{partial S}},dS_{t}.}

O termo ∂f∂SdSt{displaystyle {frac {partial f}{partial S}},dS_{t}} representa a variação no valor no tempo dt{displaystyle dt} da estratégia de negociação que consiste em manter em carteira uma quantidade ∂f∂S{displaystyle {frac {partial f}{partial S}}} da ação. Seguindo essa estratégia e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco r{displaystyle r}, então o valor total V{displaystyle V} deste portfólio satisfaz à equação diferencial estocástica

dVt=r(Vt−∂f∂SSt)dt+∂f∂SdSt.{displaystyle dV_{t}=rleft(V_{t}-{frac {partial f}{partial S}}S_{t}right),dt+{frac {partial f}{partial S}},dS_{t}.}

Esta estratégia replica a opção se V=f(t,S){displaystyle V=f(t,S)}. A combinação destas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

∂f∂t+σ2S22∂2f∂S2+rS∂f∂S−rf=0.{displaystyle {frac {partial f}{partial t}}+{frac {sigma ^{2}S^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial S^{2}}}+rS{frac {partial f}{partial S}}-rf=0.}

Ver também |

• Processo de Wiener

Referências |