Equação de Bernoulli




Em dinâmica dos fluidos, a equação de Bernoulli, atribuída a Daniel Bernoulli, descreve o comportamento de um fluido que se move ao longo de um tubo ou conduto.


O princípio de Bernoulli afirma que para um fluxo sem viscosidade, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido.[1][2] O princípio de Bernoulli é nomeado em homenagem ao matemático neerlandês-suiço Daniel Bernoulli que publicou o seu princípio, em seu livro Hydrodynamica em 1738.[3]


Há basicamente duas formulações, uma para fluidos incompressíveis e outra para fluidos compressíveis.




Índice






  • 1 A equação original


  • 2 A equação para fluidos compressíveis


  • 3 Dedução


  • 4 Referências





A equação original |


A forma original, que é para um fluxo incompressível sob um campo gravitacional uniforme (como o encontrado na Terra em pequenas altitudes), é:



v22+gh+pρ=constante{displaystyle {v^{2} over 2}+gh+{p over rho }={mbox{constante}}}{v^{2} over 2}+gh+{p over rho }={mbox{constante}} ou ρ v22+ρgh+p=constante{displaystyle {rho v^{2} over 2}+rho gh+{p}={mbox{constante}}}{rho v^{2} over 2}+rho gh+{p}={mbox{constante}}



v{displaystyle v}v = velocidade do fluido ao longo do conduto


g{displaystyle g}g = aceleração da gravidade


h{displaystyle h}h = altura em relação a um referencial


p{displaystyle p}p = pressão ao longo do recipiente


ρ{displaystyle rho }rho = massa específica do fluido


As seguintes convenções precisam ser satisfeitas para que a equação se aplique:



  • Escoamento sem viscosidade ("fricção" interna = 0)

  • Escoamento em regime permanente

  • Escoamento incompressível (ρ{displaystyle rho }rho constante em todo o escoamento)

  • Geralmente, a equação vale a um conduto como um todo. Para fluxos de potencial de densidade constante, ela se aplica a todo o campo de fluxo.


A redução na pressão que ocorre simultaneamente com um aumento na velocidade, como previsível pela equação, é frequentemente chamado de princípio de Bernoulli.


A equação é dedicada a Daniel Bernoulli, embora tenha sido apresentada pela primeira vez da forma como está aí por Leonhard Euler.



A equação para fluidos compressíveis |


Uma segunda forma, mais geral, da equação de Bernoulli pode ser escrita para fluidos compressíveis:


v22+ϕ+w=constante{displaystyle {v^{2} over 2}+phi +w={mbox{constante}}}{v^{2} over 2}+phi +w={mbox{constante}}

Aqui, ϕ{displaystyle phi }phi é a energia potencial gravitacional por unidade de massa, que vale apenas ϕ=gh{displaystyle phi =gh}phi =gh no caso de um campo gravitacional uniforme, e w{displaystyle w}w é a entalpia do fluido por unidade de massa. Observe que w=ϵ+pρ{displaystyle w=epsilon +{p over rho }}w=epsilon +{p over rho } onde ϵ{displaystyle epsilon }epsilon é a energia termodinâmica do fluido por unidade de massa, também conhecida como energia interna específica ou sie.


A constante no lado direito da equação é frequentemente chamada de constante de Bernoulli e indicada pela letra "b". Para o escoamento adiabático sem viscosidade e sem nenhuma fonte adicional de energia, "b" é constante ao longo de todo o escoamento. Mesmo nos casos em que "b" varia ao longo do conduto, a constante ainda prova-se bastante útil, porque está relacionada com a carga de pressão no fluido.


Quando uma onda de choque está presente, deve-se notar que um referencial move-se conjuntamente (comove-se) com uma onda de choque, muitos dos parâmetros envolvidos na equação de Bernoulli sofrem grandes modificações ao passar pela onda de choque. A constante de Bernoulli, porém, não se altera. A única exceção a essa regra são os choques radioativos, que violam as convenções que levam à equação de Bernoulli, como a falta de vazões ou fontes de energia..



Dedução |


Um duto com fluido movendo-se para a direita. Estão indicados a pressão, a altura, a velocidade, a distância (s) e a área da seção transversal.

Vamos começar com a equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis.


A equação pode ser obtida pela integração das equações de Euler, ou pela aplicação da lei da conservação da energia em duas seções ao longo da corrente, e desprezando a viscosidade, a compressibilidade e os efeitos térmicos. Pode-se dizer que


o trabalho mecânico feito pelas forças no fluido + redução na energia potencial = aumento na energia cinética.

O trabalho feito pelas forças é


F1s1−F2s2=p1A1v1Δt−p2A2v2Δt.{displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}Delta t.;}F_{{1}}s_{{1}}-F_{{2}}s_{{2}}=p_{{1}}A_{{1}}v_{{1}}Delta t-p_{{2}}A_{{2}}v_{{2}}Delta t.;

A diminuição da energia potencial é


mgh1−mgh2=ρgA1v1Δth1−ρgA2v2Δth2.{displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=rho gA_{1}v_{1}Delta th_{1}-rho gA_{2}v_{2}Delta th_{2}.;}mgh_{{1}}-mgh_{{2}}=rho gA_{{1}}v_{{1}}Delta th_{{1}}-rho gA_{{2}}v_{{2}}Delta th_{{2}}.;

O aumento na energia cinética é


12mv22−12mv12=12ρA2v2Δtv22−12ρA1v1Δtv12.{displaystyle {frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={frac {1}{2}}rho A_{2}v_{2}Delta tv_{2}^{2}-{frac {1}{2}}rho A_{1}v_{1}Delta tv_{1}^{2}.}{frac {1}{2}}mv_{{2}}^{{2}}-{frac {1}{2}}mv_{{1}}^{{2}}={frac {1}{2}}rho A_{{2}}v_{{2}}Delta tv_{{2}}^{{2}}-{frac {1}{2}}rho A_{{1}}v_{{1}}Delta tv_{{1}}^{{2}}.

Juntando tudo, tem-se que


p1A1v1Δt−p2A2v2Δt+ρgA1v1Δth1−ρgA2v2Δth2=12ρA2v2Δtv22−12ρA1v1Δtv12{displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}Delta t+rho gA_{1}v_{1}Delta th_{1}-rho gA_{2}v_{2}Delta th_{2}={frac {1}{2}}rho A_{2}v_{2}Delta tv_{2}^{2}-{frac {1}{2}}rho A_{1}v_{1}Delta tv_{1}^{2}}p_{{1}}A_{{1}}v_{{1}}Delta t-p_{{2}}A_{{2}}v_{{2}}Delta t+rho gA_{{1}}v_{{1}}Delta th_{{1}}-rho gA_{{2}}v_{{2}}Delta th_{{2}}={frac {1}{2}}rho A_{{2}}v_{{2}}Delta tv_{{2}}^{{2}}-{frac {1}{2}}rho A_{{1}}v_{{1}}Delta tv_{{1}}^{{2}}

ou


ρA1v1Δtv122+ρgA1v1Δth1+p1A1v1Δt=ρA2v2Δtv222+ρgA2v2Δth2+p2A2v2Δt.{displaystyle {frac {rho A_{1}v_{1}Delta tv_{1}^{2}}{2}}+rho gA_{1}v_{1}Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}Delta t={frac {rho A_{2}v_{2}Delta tv_{2}^{2}}{2}}+rho gA_{2}v_{2}Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}Delta t.}{frac {rho A_{{1}}v_{{1}}Delta tv_{{1}}^{{2}}}{2}}+rho gA_{{1}}v_{{1}}Delta th_{{1}}+p_{{1}}A_{{1}}v_{{1}}Delta t={frac {rho A_{{2}}v_{{2}}Delta tv_{{2}}^{{2}}}{2}}+rho gA_{{2}}v_{{2}}Delta th_{{2}}+p_{{2}}A_{{2}}v_{{2}}Delta t.

Depois da divisão por Δt{displaystyle Delta t}Delta t, ρ{displaystyle rho }rho e A1v1{displaystyle A_{1}v_{1}}A_{{1}}v_{{1}} (= vazão = A2v2{displaystyle A_{2}v_{2}}A_{{2}}v_{{2}} já que o fluido é incompressível), encontra-se:


v122+gh1+p1ρ=v222+gh2+p2ρ{displaystyle {frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{frac {p_{1}}{rho }}={frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{frac {p_{2}}{rho }}}{frac {v_{{1}}^{{2}}}{2}}+gh_{{1}}+{frac {p_{{1}}}{rho }}={frac {v_{{2}}^{{2}}}{2}}+gh_{{2}}+{frac {p_{{2}}}{rho }}

ou v22+gh+pρ=C{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+gh+{frac {p}{rho }}=C}{frac {v^{{2}}}{2}}+gh+{frac {p}{rho }}=C (como dito na Introdução).


A divisão adicional por g implica


v22g+h+pρg=C.{displaystyle {frac {v^{2}}{2g}}+h+{frac {p}{rho g}}=C.}{frac {v^{{2}}}{2g}}+h+{frac {p}{rho g}}=C.

Uma massa em queda livre de uma altura h (no vácuo), alcançará uma velocidade



v=2gh,{displaystyle v={sqrt {{2g}{h}}},}v={sqrt {{2g}{h}}}, ou h=v22g{displaystyle h={frac {v^{2}}{2g}}}h={frac {v^{{2}}}{2g}}.

O termo v22g{displaystyle {frac {v^{2}}{2g}}}{frac {v^{2}}{2g}} é chamado de altura de aceleração ou carga de aceleração.


A pressão hidrostática, carga estática ou altura estática é definida como



p=ρgh{displaystyle p=rho gh;!}p=rho gh;! ou h=pρg{displaystyle h={frac {p}{rho g}}}h={frac {p}{rho g}}.

O termo pρg{displaystyle {frac {p}{rho g}}}{frac {p}{rho g}} é também chamado de altura de pressão ou carga de pressão.


Uma maneira de ver como isto se relaciona com a conservação de energia diretamente é pela multiplicação pela densidade e volume unitário (que é permitido, já que ambos são constantes), resultando em:



v2ρ+P=constante{displaystyle v^{2}rho +P={mbox{constante}};!}v^{2}rho +P={mbox{constante}};! e

mV2+P×volume=constante{displaystyle mV^{2}+Ptimes {mbox{volume}}={mbox{constante}};!}mV^{2}+Ptimes {mbox{volume}}={mbox{constante}};!

A dedução para fluidos compressíveis é similar. Novamente, a dedução depende da (1) conservação da massa e (2) da conservação da energia.


A conservação da massa implica que no desenho acima, no intervalo de tempo Δt{displaystyle Delta t}Delta t, a quantidade de massa que passa pela fronteira definida pela área A1{displaystyle A_{1}}A_{1} é igual à
quantidade de massa que passa por fora da fronteira definida pela área A2{displaystyle A_{2}}A_{2}:



0=ΔM1−ΔM2=ρ1A1v1Δt−ρ2A2v2Δt{displaystyle 0=Delta M_{1}-Delta M_{2}=rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t}0=Delta M_{1}-Delta M_{2}=rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t.

Aplica-se a conservação da energia de uma maneira similar: assume-se que a mudança na energia do volume do duto limitado por A1{displaystyle A_{1}}A_{1} e A2{displaystyle A_{2}}A_{2} é totalmente devida à energia que entra ou sai por quaisquer uma dessas duas fronteiras. Claramente, em uma situação mais complicada como uma vazão de fluido acompanhada de radiação, a conservação de energia não é satisfeita. De qualquer forma, assuma que seja este o caso e que o fluxo está em estado estacionário, de forma que a mudança líquida de energia é zero; temos que


0=ΔE1−ΔE2{displaystyle 0=Delta E_{1}-Delta E_{2};!}0=Delta E_{1}-Delta E_{2};!

onde ΔE1{displaystyle Delta E_{1}}Delta E_{1} e ΔE2{displaystyle Delta E_{2}}Delta E_{2} são a energia que entra através de
A1{displaystyle A_{1}}A_{1} e que sai por A2{displaystyle A_{2}}A_{2}, respectivamente.


A energia entrando por A1{displaystyle A_{1}}A_{1} é a soma da energia cinética afluente, da energia afluente na forma de energia potencial gravitacional, da energia termodinâmica do fluido afluente e da energia afluente na forma de trabalho mecânico pdV{displaystyle p,dV}p,dV:


ΔE1=[12ρ1v12+ϕ1ρ1+ϵ1ρ1+p1]A1v1Δt{displaystyle Delta E_{1}=left[{frac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+phi _{1}rho _{1}+epsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right]A_{1}v_{1},Delta t}Delta E_{1}=left[{frac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+phi _{1}rho _{1}+epsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right]A_{1}v_{1},Delta t

Uma expressão similar para ΔE2{displaystyle Delta E_{2}}Delta E_{2} pode ser construída facilmente.
Fazendo agora 0=ΔE1−ΔE2{displaystyle 0=Delta E_{1}-Delta E_{2};!}0=Delta E_{1}-Delta E_{2};!, obtemos


0=[12ρ1v12+ϕ1ρ1+ϵ1ρ1+p1]A1v1Δt−[12ρ2v22+ϕ2ρ2+ϵ2ρ2+p2]A2v2Δt{displaystyle 0=left[{frac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+phi _{1}rho _{1}+epsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right]A_{1}v_{1},Delta t-left[{frac {1}{2}}rho _{2}v_{2}^{2}+phi _{2}rho _{2}+epsilon _{2}rho _{2}+p_{2}right]A_{2}v_{2},Delta t}0=left[{frac {1}{2}}rho _{1}v_{1}^{2}+phi _{1}rho _{1}+epsilon _{1}rho _{1}+p_{1}right]A_{1}v_{1},Delta t-left[{frac {1}{2}}rho _{2}v_{2}^{2}+phi _{2}rho _{2}+epsilon _{2}rho _{2}+p_{2}right]A_{2}v_{2},Delta t

Reescrevendo:


0=[12v12+ϕ1+ϵ1+p1ρ1]ρ1A1v1Δt−[12v22+ϕ2+ϵ2+p2ρ2]ρ2A2v2Δt{displaystyle 0=left[{frac {1}{2}}v_{1}^{2}+phi _{1}+epsilon _{1}+{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right]rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-left[{frac {1}{2}}v_{2}^{2}+phi _{2}+epsilon _{2}+{frac {p_{2}}{rho _{2}}}right]rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t}0=left[{frac {1}{2}}v_{1}^{2}+phi _{1}+epsilon _{1}+{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right]rho _{1}A_{1}v_{1},Delta t-left[{frac {1}{2}}v_{2}^{2}+phi _{2}+epsilon _{2}+{frac {p_{2}}{rho _{2}}}right]rho _{2}A_{2}v_{2},Delta t

Agora, usando o resultado obtido anteriormente a partir da conservação da massa, isto pode ser simplificado de forma a se obter


12v2+ϕ+ϵ+pρ=constante≡b{displaystyle {frac {1}{2}}v^{2}+phi +epsilon +{frac {p}{rho }}={rm {mbox{constante}}}equiv b}{frac {1}{2}}v^{2}+phi +epsilon +{frac {p}{rho }}={{rm {{mbox{constante}}}}}equiv b

que é a solução procurada.



Referências |




  1. ↑ Clancy, L.J., Aerodynamics, Capítulo 3.


  2. ↑ Batchelor, G.K. (1967), Seção 3.5, pp. 156-64.


  3. ↑ «Hydrodynamica». Britannica Online Encyclopedia. Consultado em 30 de outubro de 2008 








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