Produto cartesiano
Em matemática, dados dois conjuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto direto) dos dois conjuntos (escrito como X × Y) é o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro termo pertence a X e o segundo, a Y.
- X×Y={(x,y)∣x∈X∧y∈Y}.{displaystyle Xtimes Y={(x,y)mid xin X;wedge ;yin Y}.}
O produto cartesiano recebe seu nome de René Descartes, cuja formulação da geometria analítica deu origem a este conceito.
Por exemplo, se o conjunto X é o dos treze elementos do baralho inglês
- X={A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}{displaystyle X={mathrm {A} ,mathrm {K} ,mathrm {Q} ,mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2}}
e o Y é o dos quatro naipes:
Y = {♠, ♥, ♦, ♣}
então o produto cartesiano desses dois conjuntos será o conjunto com as 52 cartas do baralho:
X × Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.
Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conjunto de números reais e os pares ordenados têm a forma de (x,y), onde x e y são números reais (veja o sistema de coordenadas cartesiano). Subconjuntos do produto cartesiano são chamados de relações binárias. As funções, um dos conceitos mais importantes da matemática, são definidas como tipos especiais de relações.
Índice
1 Teoria dos conjuntos
2 Cardinal
3 Generalização
4 Notação potencial
5 Produto infinito
5.1 Exemplo
5.2 Axioma da Escolha
6 Projeção canônica
6.1 Exemplos
7 Produtos de Estruturas Matemáticas
Teoria dos conjuntos |
Em teoria dos conjuntos, e, em especial, na sua formulação pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição de
- X×Y={(x,y) | x∈X∧y∈Y}{displaystyle Xtimes Y={(x,y) | xin Xland yin Y}}
não é satisfatória. Devemos construir, usando os axiomas, um conjunto suficientemente grande para conter todos os pares ordenados, e, depois, reduzir este conjunto ao produto escalar pelo axioma da separação.
Como um par ordenado é definido por (a,b)={{a},{a,b}}{displaystyle (a,b)={{a},{a,b}}}
Explicitamente:
- X×Y={p∈P(P(X∪Y)) | p={{x},{x,y}},x∈X,y∈Y}{displaystyle Xtimes Y={pin P(P(Xcup Y)) | p={{x},{x,y}},xin X,yin Y}}
Deve-se mostrar que ninguém ficou de fora, ou seja, que qualquer par ordenado pertence ao produto escalar. Para isso, suponha que a∈X∧b∈Y{displaystyle ain Xland bin Y}
Cardinal |
O cardinal do produto cartesiano de dois conjuntos é o produto dos cardinais dos conjuntos individuais:
- |X×Y|=|X|⋅|Y|{displaystyle |Xtimes Y|=|X|cdot |Y|}
Generalização |
O produto cartesiano pode ser generalizado para mais de dois conjuntos:
X1 × ... × Xn = { (x1,... ,xn) | x1 pertence a X1 e ... e xn pertence a Xn }
ou intuitivamente (X1 × ... × Xn-1) × Xn.
Um exemplo é o seguinte. Seja o conjunto L com três elementos:
- {1, 2, 3}
o conjunto M com dois elementos:
- {a,b},
e o conjunto N com 2 elementos:
- {$, %},
o produto cartesiano L × M × N é:
- {(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}
Um outro exemplo disso é o espaço euclidiano de três dimensões R×R×R{displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} }
Notação potencial |
Para expressar o produto cartesiano dum conjunto por si mesmo está permitida a notação potencial:
X×X×⋯×X⏟=Xnnvezes{displaystyle {begin{matrix}&underbrace {Xtimes Xtimes cdots times X} &=X^{n}\&nmathrm {vezes} end{matrix}}}
Assim, o mencionado espaço euclidiano tridimensional pode-se representar como R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}
Produto infinito |
A observação de que a estrutura do produto cartesiano Xn{displaystyle X^{n}}
Seja Λ{displaystyle Lambda }
- ∏λ∈ΛXλ={f:Λ→⋃λ∈ΛXλ , f(a)∈Xa}{displaystyle prod _{lambda in Lambda }X_{lambda }={f:Lambda rightarrow bigcup _{lambda in Lambda }X_{lambda } , f(a)in X_{a}}}
Exemplo |
Seja Λ=N⋆{displaystyle Lambda =mathbb {N^{star }} }
Axioma da Escolha |
Um resultado paradoxal é que, usando os axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos sem incluir o axioma da escolha, não é possível mostrar que o produto de conjuntos não-vazios tem algum elemento.
Projeção canônica |
As funções mais importantes que tem como domínio um produto cartesiano são as projeções canônicas.
No caso finito, a i-ésima projeção canônica é a função que retorna a i-ésima coordenada.
Ou seja:
- πi(x1,…,xi,…,xn)=xi{displaystyle pi _{i}(x_{1},ldots ,x_{i},ldots ,x_{n})=x_{i}}
No caso infinito, como cada elemento de ΠλXλ{displaystyle Pi _{lambda }X_{lambda }}
- πλ(f)=f(λ){displaystyle pi _{lambda }(f)=f(lambda )}
Exemplos |
- Em R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
, as duas projeções canônicas são:
- π1(x,y)=x{displaystyle pi _{1}(x,y)=x}
- π2(x,y)=y{displaystyle pi _{2}(x,y)=y}
- π1(x,y)=x{displaystyle pi _{1}(x,y)=x}
- No conjunto das seqüências de números reais, que pode ser visto como o produto Πi∈N⋆R{displaystyle Pi _{iin mathbb {N^{star }} }mathbb {R} }
, a i-ésima projeção canônica é a função que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo:
- π10(2,4,8,16,…)=1024{displaystyle pi _{10}(2,4,8,16,ldots )=1024}
- π10(2,4,8,16,…)=1024{displaystyle pi _{10}(2,4,8,16,ldots )=1024}
Produtos de Estruturas Matemáticas |
Várias estruturas matemáticas são mantidas, de uma forma natural (canônica) ao se passar para os produtos cartesianos. Por exemplo:
- o produto cartesiano de grupos é um grupo.
- o produto cartesiano de espaços vetoriais sobre o mesmo corpo é um espaço vetorial.
- o produto cartesiano de topologias é uma topologia, a topologia produto.
Todos estes conceitos podem ser unificados usando-se o produto categorial, definido na Teoria das categorias.
