Btukfyl

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Functor, em Teoria das categorias, é um mapeamento entre categorias que preserva estruturas. Os functores podem ser entendidos como homomorfismos na categoria de todas as categorias pequenas (ou seja, a categoria que tem como objetos todas as categorias compostas por objetos que são conjuntos).

Um functor (covariante) F{displaystyle F} da categoria C para a categoria D:^[1]

1. associa para cada objeto x{displaystyle x} em C um objeto F(x){displaystyle F(x)} em D;


2. associa para cada morfismo f:x→y{displaystyle f:xrightarrow y} um morfismo F(f):F(x)→F(y){displaystyle F(f):F(x)rightarrow F(y)}
   

tal que as seguintes propriedades valem:

1. F(idx)=idF(x){displaystyle F(id_{x})=id_{F(x)}}


2. 
   F(g∘f)=F(g)∘F(f){displaystyle F(gcirc f)=F(g)circ F(f)} para todos os morfismos f:x→y{displaystyle f:xrightarrow y} e g:y→z{displaystyle g:yrightarrow z}.

Ou seja, functores devem preservar o elemento identico e composição de morfismos.

Covariancia e contravariancia |

Algumas construções na matemática usam mapeamentos semelhantes a functores, porém que invertem os morfismos. Estes são definidos como functores contravariantes (ou cofunctor), e tem as propriedades:

Definimos F de C para D como um functor contravariante quando:

• 
  F associa a cada objeto X∈C{displaystyle Xin C} um objeto F(X)∈D,{displaystyle F(X)in D,}
  


• 
  F associa a cada morfismo f:X→Y∈C{displaystyle f:Xrightarrow Yin C} um morfismo F(f):F(Y)→F(X)∈D{displaystyle F(f):F(Y)rightarrow F(X)in D}
  


• 
  F(idX)=idF(X){displaystyle F(id_{X})=id_{F(X)}} para todo objeto X∈C{displaystyle Xin C},


• 
  F(g∘f)=F(f)∘F(g){displaystyle F(gcirc f)=F(f)circ F(g)} para todos morfismos f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} e g:Y→Z.{displaystyle g:Yrightarrow Z.}
  

Note que um functor contravariante F:C→D{displaystyle F:Crightarrow D} pode também ser definido como um functor covariante F:Cop→D{displaystyle F:C^{mathrm {op} }rightarrow D}. ^[2]

Ver também |

• Matemática


• Ciência da computação

Ligações externas |

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo


• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia |

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.


• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

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