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Um isomorfismo (ou iso), no contexto de teoria das categorias, é uma seta que possui uma propriedade distintiva.

Seja uma categoria C e objetos a{displaystyle a} e b{displaystyle b} desta categoria. Uma seta h:a→b{displaystyle h:arightarrow b} é isomorfismo se e somente se existe g:b→a{displaystyle g:brightarrow a} tal que g∘h=ida{displaystyle gcirc h=id_{a}} e h∘g=idb{displaystyle hcirc g=id_{b}}.

Toda seta iso é mono e epi, embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos a{displaystyle a} e b{displaystyle b}, os morfismos identidade, e um único morfismo f:a→b{displaystyle f:arightarrow b}, f{displaystyle f} é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

Em conjuntos podemos pensar uma seta iso como sendo uma função bijetora.

Igualdade e isomorfismo |

Isomorfismo é uma das noções mais importantes em uma categoria. Por isso, é comum encontrar em várias demonstrações e construções as expressões único, a menos de isomorfismo e único, a menos de único isomorfismo.

O que estas expressões querem dizer é que determinado objeto pode existir como várias versões, mas todas estas versões são isomórficas. Na noção mais forte, este isomorfismo entre dois objetos também é único.

Para efeitos práticos, o isomorfismo faz com que objetos isomórficos comportem-se da mesma forma. Tudo que pode ser feito com um deles pode ser feito com o outro - basta compor setas com o isomorfismo entre estes objetos.

Exemplos |

• Na teoria dos corpos, o fecho algébrico existe é único a menos de isomorfismo. Por exemplo, o corpo R{displaystyle mathbb {R} ,} pode ter como fecho algébrico um determinado conjunto de matrizes 2x2 ou um conjunto de pares ordenados (a,b) no qual é definida uma operação de produto, mas estas duas representações de C{displaystyle mathbb {C} ,} são isomórficas. O isomorfismo, porém, não é único.


• Na construção de um corpo ordenado arquimediano completo, pode-se usar os cortes de Dedekind ou classes de equivalência de sequências de Cauchy. Estas duas representações de R{displaystyle mathbb {R} ,} na categoria dos corpos são isomórficas, e o isomorfismo é único - diz-se portanto que o corpo ordenado arquimediano completo nesta categoria é único a menos de um único isomorfismo.

Bibliografia |

• ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.


• BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


• MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.

Ver também |

• Matemática


• Ciência da computação


• 
  Isomorfismo (teoria dos grupos) - caso particular para a categoria dos grupos
  

Ligações externas |

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo


• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

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