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Objeto inicial, no contexto de Teoria das categorias, é um objeto especial em uma categoria.

Seja C uma categoria. Um objeto 0{displaystyle 0} é inicial e somente se para qualquer objeto b{displaystyle b} existe um único f:0→b{displaystyle f:0rightarrow b}. O objeto inicial é uma noção universal, ou seja, definida pela existência e unicidade de morfismos.

Um exemplo de objeto inicial em Set é o conjunto vazio, ∅{displaystyle emptyset }, pois existe uma única função total que tem como origem ∅{displaystyle emptyset } e tem como destino qualquer outro conjunto, e esta é a função vazia (ou seja, aquela em que o gráfico da função é vazio).

O objeto inicial é único, a não ser por isomorfismos.

Objeto terminal |

É um objeto com a seguinte propriedade especial: para todo objeto b{displaystyle b} da categoria existe um único morfismo f:b→t{displaystyle f:brightarrow t}. A noção dual correspondente é a de objeto inicial.

Em Set qualquer conjunto unitário (conjunto com um único elemento) é terminal. Isto ocorre pois, dado qualquer outro conjunto, só existe uma função total com origem neste conjunto e destino no conjunto unitário, que é a função constante (aquela em que os valores da função para todo o domínio são iguais). Esta propriedade vale inclusive se o domínio da função for o conjunto vazio, já que o próprio conjunto vazio é uma função com domínio igual ao conjunto vazio.

Unicidade |

O objeto terminal, se existe, é único no sentido que importa para a teoria: se x e y são dois objetos terminais, então eles são isomórficos, e o isomorfismo é único. A prova é imediata: por ser x terminal, existe um único morfismo 1x:x→x{displaystyle 1_{x}:xto x,} e um único morfismo f:y→x{displaystyle f:yto x,}. Por ser y terminal, existe um único morfismo 1y:y→y{displaystyle 1_{y}:yto y,} e um único morfismo g:x→y{displaystyle g:xto y,}. Compondo f e g, chegam-se à prova de que f e g são isomorfismos, e um é o inverso do outro.^[1]

Ver também |

• Matemática


• Ciência da computação

Ligações externas |

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo


• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Referências |

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.


• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

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