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Em qualquer triângulo, tem-se a<b+c, b<a+c e c<a+b.

A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-se ao teorema que afirma que, num triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I.^[1] É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto/recto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reais |

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

|u+v|≤|u|+|v|{displaystyle |u+v|leq |u|+|v|}.

Que dá origem a outras desigualdades:

• |u−v|≤|u|+|v|{displaystyle |u-v|leq |u|+|v|}


• |u−v|≥|u|−|v|{displaystyle |u-v|geq |u|-|v|,}


• |u−v|≥||u|−|v||{displaystyle |u-v|geq {Big |}|u|-|v|{Big |},}

Para a primeira, escreva |u−v|=|u+(−v)|≤|u|+|−v|=|u|+|v|{displaystyle |u-v|=|u+(-v)|leq |u|+|-v|=|u|+|v|}

Para a segunda, |u|=|v+(u−v)|≤|v|+|u−v|{displaystyle |u|=|v+(u-v)|leq |v|+|u-v|,}

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Teorema |

Em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, quaisquer que sejam x,y∈Rn{displaystyle x,yin mathbb {R} ^{n}}, tem-se^[2]:

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}

Havendo igualdade se e só se y=αx{displaystyle y=alpha x} com |1+α|=1+|α|{displaystyle |1+alpha |=1+|alpha |} .

Note que α=0{displaystyle alpha =0} está incluído mas α≤−1{displaystyle alpha leq -1} não.

Demonstração |

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente^[2].

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

‖x+y‖2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩{displaystyle |x+y|^{2}=langle x+y,x+yrangle =langle x,xrangle +2langle x,yrangle +langle y,yrangle } (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩≤‖x‖2+2‖x‖‖y‖+‖y‖2=(‖x‖+‖y‖)2{displaystyle langle x,xrangle +2langle x,yrangle +langle y,yrangle leq |x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=left(|x|+|y|right)^{2}}

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

‖x+y‖2≤(‖x‖+‖y‖)2⇔‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{displaystyle |x+y|^{2}leq left(|x|+|y|right)^{2}Leftrightarrow |x+y|leq |x|+|y|} Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexos |

Sejam X e Y dois números complexos, então:

• |X+Y|≤|X|+|Y|{displaystyle |X+Y|leq |X|+|Y|}


• |X|−|Y|≤|X−Y|{displaystyle |X|-|Y|leq |X-Y|}

Desigualdade triangular em espaço métrico |

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y){displaystyle d(x,y)leq d(x,z)+d(z,y),}

Desigualdade triangular em espaço normado |

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖{displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}

E generaliza-se por indução matemática para:

‖∑n=1Nxn‖≤∑n=1N‖xn‖{displaystyle left|sum _{n=1}^{N}x_{n}right|leq sum _{n=1}^{N}|x_{n}|}

E também para séries infinitas:

‖∑n=1∞xn‖≤∑n=1∞‖xn‖{displaystyle left|sum _{n=1}^{infty }x_{n}right|leq sum _{n=1}^{infty }|x_{n}|}

Desigualdade triangular para integrais |

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real f(x){displaystyle f(x),} integrável.

|∫Vf(x)dx|≤∫V|f(x)|dx{displaystyle left|int _{V}f(x)dxright|leq int _{V}|f(x)|dx}

Ver também |

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.

Referências

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