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Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Obs: em física, em particular em aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes. Para maiores detalhes, ver Espaço de Minkowski.

Definições |

Seja V{displaystyle V} um espaço vetorial sobre um corpo K,{displaystyle mathbb {K} ,} um subcorpo de C{displaystyle mathbb {C} } (veja números complexos). Para todos os vetores u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V} e todos os escalares λ∈K,{displaystyle lambda in mathbb {K} ,} uma função binária

⟨⋅,⋅⟩:V×V→K{displaystyle langle cdot ,cdot rangle :Vtimes Vrightarrow mathbb {K} }

• Simetria hermitiana:
  
  

  ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩¯{displaystyle langle u,vrangle ={overline {langle v,urangle }}}

  
  
  
  sendo que z¯{displaystyle {overline {z}}} representa o conjugado complexo de z∈C.{displaystyle zin mathbb {C} .}
  


• Distributividade (ou linearidade):
  
  

  ⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩{displaystyle langle u+v,wrangle =langle u,wrangle +langle v,wrangle }

  
  
  
  
  


• Homogeneidade (ou associatividade):
  
  

  ⟨λu,v⟩=λ⟨u,v⟩{displaystyle langle lambda u,vrangle =lambda langle u,vrangle }

  
  
  
  
  


• Positividade:
  
  

  ⟨v,v⟩≥0;⟨v,v⟩=0⇔v→=0→{displaystyle {begin{aligned}&langle v,vrangle geq 0;&\&langle v,vrangle =0Leftrightarrow {overrightarrow {v}}={overrightarrow {0}}&end{aligned}}}

  
  
  
  
  

é chamada um produto interno.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩{displaystyle langle u,v+wrangle =langle u,vrangle +langle u,wrangle }

u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V}

⟨u,λv⟩=λ¯⟨u,v⟩{displaystyle langle u,lambda vrangle ={overline {lambda }}langle u,vrangle }

u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V}

λ∈K{displaystyle lambda in mathbb {K} }

Exemplos |

Um espaço vetorial de dimensão finita no qual está definido um produto interno é um espaço vetorial euclidiano. O produto escalar sobre o espaço vetorial R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} dado por

⟨(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)⟩:=x1x2+y1y2+z1z2{displaystyle langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})rangle :=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}

Esta definição de produto escalar pode ser referida como produto interno usual. Podemos ter uma outra definição tal qual se tenha um produto diferente do citado acima, desde que se respeitem os axiomas de produto interno.

Ainda no R3,{displaystyle mathbb {R} ^{3},} podemos escrever o produto interno numa forma matricial:

⟨(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)⟩=x1x2+y1y2+z1z2=[x1y1z1]A[x2y2z2]{displaystyle langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}={begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}end{bmatrix}}A{begin{bmatrix}x_{2}\y_{2}\z_{2}end{bmatrix}}}

A=[100010001]{displaystyle A={begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}}

De fato, podemos definir, para qualquer matriz A{displaystyle A} de ordem 3x3, a seguinte função

⟨⋅,⋅⟩:R3×R3→R{displaystyle langle cdot ,cdot rangle :mathbb {R} ^{3}times mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} }

⟨(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)⟩=[x1y1z1]A[x2y2z2],{displaystyle langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})rangle ={begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}end{bmatrix}}A{begin{bmatrix}x_{2}\y_{2}\z_{2}end{bmatrix}},}

⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle }

1. A Matriz A tem o termo a11{displaystyle a_{11}} maior que zero


2. O Determinante da matriz A é maior que zero


3. A Matriz A é simétrica

Em alguns casos pode ser mais prático para provar se determinada operação é, ou não, produto interno.

Obs: no caso complexo, essas condições não são válidas. Uma condição necessária é que a matriz seja auto-adjunta, ou seja, ela deve ser igual à transposta da sua conjugada.

No espaço R2,{displaystyle mathbb {R} ^{2},} a função que associa a cada par de vetores u = (x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})} e v = (x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})} o número real:

⟨u,v⟩=3x1x2+4y1y2{displaystyle langle u,vrangle =3x_{1}x_{2}+4y_{1}y_{2}}

é um produto interno.

De fato:

⟨u,v⟩=3x1x2+4y1y2=[x1y1][3004][x2y2]{displaystyle langle u,vrangle =3x_{1}x_{2}+4y_{1}y_{2}={begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}3&0\0&4end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x_{2}\y_{2}end{bmatrix}}}

Onde A tem o termo a11=3>0,{displaystyle a_{11}=3>0,} o determinante é igual a 12 e a matriz é simétrica.

Se formos demonstrar, para todos os axiomas, teremos que este é um produto interno.

Se V{displaystyle V} for o espaço das funções contínuas complexas com domínio [0,1],{displaystyle [0,1],} a função

⟨⋅,⋅⟩:V×V→C{displaystyle langle cdot ,cdot rangle :Vtimes Vto mathbb {C} }

⟨f,g⟩=∫01f(x)g(x)¯dx, para f,g∈V,{displaystyle langle f,grangle =int _{0}^{1}f(x){overline {g(x)}},dx,{text{ para }}f,gin V,}

Propriedades |

O ângulo entre dois vectores definido a partir do produto interno.

Num espaço vetorial com produto interno, é possível definir os conceitos de ortogonalidade, norma, distância e ângulo entre vetores.

Seja V{displaystyle V} um espaço vetorial real ou complexo com produto interno.

Norma

Podemos definir uma norma ‖⋅‖{displaystyle left|cdot right|} em V{displaystyle V} por

‖v‖:=⟨v,v⟩.{displaystyle left|vright|:={sqrt {langle v,vrangle }}.}

Se V{displaystyle V} com a métrica induzida pela norma acima for um espaço métrico completo, dizemos que V{displaystyle V} é um espaço de Hilbert.

Ângulo e ortogonalidade |

Dizemos que dois vetores u{displaystyle u} e v{displaystyle v} de V{displaystyle V} são ortogonais se, e somente se, ⟨u,v⟩=0.{displaystyle langle u,vrangle =0.}

Se V{displaystyle V} for um espaço vetorial real, da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos, para dois vetores u{displaystyle u} e v{displaystyle v} de V,{displaystyle V,} que

−1≤⟨u,v⟩‖u‖.‖v‖≤1.{displaystyle -1leq {frac {langle u,vrangle }{|u|.|v|}}leq 1.}

θ=arccos(⟨u,v⟩‖u‖.‖v‖),{displaystyle theta =mathrm {arccos} ,left({frac {langle u,vrangle }{|u|.|v|}}right),}

cosθ=⟨u,v⟩‖u‖.‖v‖.{displaystyle mathrm {cos} theta ={frac {langle u,vrangle }{|u|.|v|}}.}

Ver também |

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Álgebra


• Produto Vetorial ou Externo

Referências

Ligações externas |

• Petrônio Pulino. Álgebra Linear e suas Aplicações - Cap. 5: Produto Interno, 2009.

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