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Divisores são números inteiros e racionais,^[1] sendo o dito divisor y diferente de 0 (y $ne$ 0)e o divisor z igualmente (z $ne$ 0)^[2] com os quais se pode efetuar uma divisão de números maiores (igualmente inteiros e racionais), tendo como resto e quociente uma quantidade exata.

Exemplo:^[2]

${displaystyle ,!{frac {x}{y}}=zrightarrow ,!{frac {x}{z}}=y}$

Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os números primos, que só tem como divisores 1 e o dito primo.^[1]

Sobre os divisores |

Existem infinitos números primos (ver Teoria dos números, seção: Propriedades dos números primos; Teorema de Euclides) e infinitos divisores de números.

Para cada número inteiro e racional há um conjunto de divisores que lhe é próprio.

Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto matemático.

Como exemplo, pode-se citar o número 22, que pertence ao conjunto de múltiplos de 2 e dos múltiplos de 11 igualmente, ou seja, os divisores de 22 são 2 e 11, além de 1 e 22.

No conjunto dos múltiplos de 11:^[2]

${displaystyle left{11,22,33...right},!}$

No conjunto dos múltiplos de 2:

${displaystyle left{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24...right},!}$

Quanto maior o divisor, menor será o resto. É similar a uma regra de três inversamente proporcional, pois, quanto menor o divisor de número qualquer inteiro e racional, maior será o resto.

Somente há um número que dividido por qualquer número inteiro e racional tem como resto a mesma quantidade: 0. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em 0;

${displaystyle ,!{frac {0}{1298}}=0rightarrow 0. 1298= 0}$

Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se Fatoração.^[3]

Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os números primos (ver também número defectivo). Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de 3, 4, 5 ou 7 tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um número defectivo ou número deficiente que se encontra nesse caso.

Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um quadrado perfeito do número x

Exemplo:

${displaystyle 5. 5= 25rightarrow 5^{2}}$

Portanto:

${displaystyle ,!{frac {25}{5}}=5}$

Os números irracionais não podem ser postos em forma de fração (ver também números irracionais),^[2]^[4] logo não possuem nenhum divisor no conjunto dos números reais. Por exemplo o $pi$ , que é a proporção numérica aproximada (pois é número irracional) oriunda da relação das medidas de perímetro de circunferência e diâmetro.

Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d $ne$ 0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que ${displaystyle qcdot d=n}$ (note que isto é o mesmo que escrever ${displaystyle n=dcdot q}$ )

Exemplo:
${displaystyle (n=0)land (n=dcdot q)Rightarrow 0=dcdot qRightarrow q=0,forall din mathbb {Z} ^{*}}$

(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a ${displaystyle mathbb {Z} ^{*}}$ , que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:
${displaystyle exists _{qin mathbb {Z} }:n=dcdot q}$

(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja ${displaystyle rin mathbb {Z} }$ . Se ${displaystyle {frac {n}{d}}}$ (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então ${displaystyle n=dcdot q+r}$

Note que há duas situações possíveis para o resto r:

1) r = 0

Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão ${displaystyle n=dcdot q+r}$ será igual à expressão ${displaystyle n=dcdot q+0}$ , que é o mesmo que escrever simplesmente ${displaystyle n=dcdot q}$ .

Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r $ne$ 0

Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão ${displaystyle n=dcdot q+r}$ não será igual à expressão ${displaystyle n=dcdot q}$ .

Nota: podemos escrever ${displaystyle n-r=dcdot q}$ . O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: ${displaystyle n-r=x}$ . Assim, ${displaystyle x=dcdot q}$ . Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:

1) A divisão ${displaystyle {frac {15}{3}}}$ tem quociente 5 e resto 0. Assim:

O numerador da fração é n = 15;

O denominador da fração é d = 3;

O quociente da divisão é q = 5;

O resto da divisão é r = 0.

Como ${displaystyle n=dcdot q+r}$ , escrevemos ${displaystyle 15=3cdot 5+0}$ , ou simplesmente ${displaystyle 15=3cdot 5}$ .

Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).

2) A divisão ${displaystyle {frac {7}{2}}}$ tem quociente 3 e resto 1. Assim:

O numerador da fração é n = 7;

O denominador da fração é d = 2;

O quociente da divisão é q = 3;

O resto da divisão é r = 1.

Como ${displaystyle n=dcdot q+r}$ , escrevemos ${displaystyle 7=2cdot 3+1}$

Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r $ne$ 0).

Porém, lembre-se de que ${displaystyle n-r=dcdot q}$ . Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: ${displaystyle d=2}$ e ${displaystyle n-r=7-1=6}$ . Como ${displaystyle dcdot q=2cdot 3=6}$ , ambas as expressões ${displaystyle n-r}$ e ${displaystyle dcdot q}$ valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever ${displaystyle n-r=dcdot q}$ . Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).