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Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer
que um funcional é uma "função de uma função"^[1].

Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.

A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.

Definições formais |

• Seja V{displaystyle mathbb {V} } um espaço vetorial sobre um corpo K{displaystyle mathbb {K} }, então é um funcional qualquer função V→K{displaystyle mathbb {V} to mathbb {K} }.

Como este espaço vetorial V{displaystyle mathbb {V} } (domínio de um funcional) geralmente é de funções^[2], há outra definição específica para este caso:

• Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe V{displaystyle mathbb {V} } um único número real^[1].
  
  
  
  • O conjunto V{displaystyle mathbb {V} }, o domínio, é uma classe de funções.
  
  
  • O conjunto de números reais associados com as funções em V{displaystyle mathbb {V} } é chamado de conjunto imagem do funcional.
  
  
  
  

Exemplo |

Considere R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por x=(x1,x2){displaystyle mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}
. Eis alguns exemplos de funcionais:

• l1(x)=x1{displaystyle l_{1}(mathbf {x} )=x_{1}}


• l2(x)=x2{displaystyle l_{2}(mathbf {x} )=x_{2}}


• l3(x)=‖x‖=x12+x22{displaystyle l_{3}(mathbf {x} )=|mathbf {x} |={sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}}


• 
  l4(x)=x⋅y=x1y1+x2y2,  y=(y1,y2){displaystyle l_{4}(mathbf {x} )=mathbf {x} cdot mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},~~mathbf {y} =(y_{1},y_{2})} é um vetor dado.

Classificação |

• Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se α{displaystyle alpha } e β{displaystyle beta } são escalares:
  

  l(αx+βy)=αl(x)+βl(y){displaystyle l(alpha x+beta y)=alpha l(x)+beta l(y)}

  
  


• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.


• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.


• um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.

Ver também |

• Espaço dual


• Teorema da representação de Riesz

Referências |

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