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A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisa |

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernos |

Considere uma função f(x){displaystyle f(x),} tal que f(x){displaystyle f(x),} e f′(x){displaystyle f'(x),} (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

s=∫ab1+[f′(x)]2dx.{displaystyle s=int _{a}^{b}{sqrt {1+[f'(x)]^{2}}},dx.}

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por x=X(t){displaystyle x=X(t),} e y=Y(t){displaystyle y=Y(t),}, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é^[1]

s=∫ab[X′(t)]2+[Y′(t)]2dt.{displaystyle s=int _{a}^{b}{sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}},dt.}

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Notas |

Referências |

• 
  Carmo, Manfredo Perdigão do (2010). Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 4 ed. Rio de Janeiro: SBM. ISBN 978-85-85818-26-5